Obliczanie objętości brył obrotowych

Twierdzenie 1: o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi $ OX $

Niech krzywa $ \Gamma $ będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej $ f:[a,b] \to \mathbb{R}. $ Objętość $ V $ bryły powstałej z obrotu łuku krzywej $ \Gamma $ wokół osi $ OX $ wyraża się wzorem

$ V = \pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)dx. $

$Bryła uzyskana w wyniku obrotu wykresu funkcji $f$ wokół osi $OX$$

Rysunek 1: Bryła uzyskana w wyniku obrotu wykresu funkcji $f$ wokół osi $OX$

Przykład 1:

Korzystając z twierdzenia o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi $ OX $ obliczymy objętość stożka, którego wysokość jest równa $ h $, a promień jego podstawy wynosi $ r $. Zauważmy, że stożek ten powstaje z obrotu odcinka o końcach w punktach $ A=(0, 0) $ i $ B=(h, r) $ ( $ h \gt 0 $, $ r \gt 0 $) wokół osi $ OX $. Ogólnie odcinek łaczący punkty o współrzędnych $ (x_A,y_A) $ oraz $ (x_B,y_B) $ możemy opisać za pomocą równania

$ y-y_A = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A), \quad \text{gdzie} \quad x\in[x_A, x_B]. $

W naszej sytuacji przyjmuje ono postać

$ y=\frac{r}{h}x, \quad \text{gdzie} \quad x \in [0, h]. $

Rysunek 2: Stożek, którego objętość obliczamy

Szukaną objętość możemy zatem obliczyć w następujący sposób:

$ V=\pi \int\limits_0^h \big(\frac{r}{h}x\big)^2 dx = \frac{r^2}{h^2} \pi \int\limits_0^h x^2 dx = \frac{r^2}{h^2} \pi \frac{1}{3}x^3\Big|_0^h = \frac{1}{3}\pi r^2h. $

Niech $ \Gamma $ będzie krzywą zadaną parametrycznie:

$ \Gamma=\{(x, y)\in \mathbb{R}^2: x=\varphi (t), \, y=\psi (t), \, t \in [a, b]\}. $

Twierdzenie 2: o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w postaci biegunowej

Jeżeli funkcje $ x =\varphi(t) $ i $ y=\psi(t) $ mają ciągłe pochodne, funkcja $ \varphi $ jest rosnąca lub malejąca, a funkcja $ \psi(t) \geq 0 $ jest nieujemna, to objętość $ V $ bryły powstałej z obrotu łuku krzywej $ \Gamma $ wokół osi $ OX $ wyraża się wzorem

$ V = \pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi^2(t)|\varphi^{\prime}(t)|dt. $

Przykład 2:

Znajdźmy objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi $ OX $ figury zawartej między osiami układu a krzywą

$ \Gamma=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x=t^2-1, \, y=\sqrt{t}, \, t\ge 0\}. $

Zauważmy, że tak zadana krzywa $ \Gamma $ położona jest w górnej półpłaszczyźnie $ OXY $ oraz przecina osie układu współrzędnych w punktach $ (-1,0) $ przy $ t=0 $ oraz $ (0,1) $ przy $ t=1 $. Korzystając z twierdzenia o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w postaci biegunowej, znajdujemy szukaną objętość

$ V=\pi \int\limits_0^1 (\sqrt{t})^2\, |2t|\,dt = \pi \int\limits_0^1 2t^2\,dt = \frac{2}{3} \pi t^3\Big|_0^1= \frac{2}{3} \pi. $

Matematyka

Obliczanie objętości brył obrotowych

Twierdzenie 1: o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi \( OX \)

Przykład 1:

Twierdzenie 2: o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w postaci biegunowej

Przykład 2:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: